下面按“图形不重复”把大学前/大学低年级最常碰到的函数做一次形状级归类。
每种给一张“灵魂草图”+一句话特征，一眼就能区分。
✅ 函数图形化工具 零安装 / 轻量级（双击即用）
在开始前需要一个工具能比较方便的展示表达式在图形中显示。
Windows 11 自带「计算器」- 绘图模式
- 价格：系统自带
- 调参：✅ 支持「变量滑块」
- 中文：✅ 完全汉化
- 一句话：Win11 按
Win输 calc → 切到「绘图」→ 在右上角写a*sin(b*x)+c就能弹出 a/b/c 三枚滑块，拖一拖图形实时变形，初高中到大学基础课完全够用 。
Winplot（绿色单文件，＜1 MB）
- 价格：免费
- 调参：✅ 支持「动态参数 t」
- 中文：❌ 仅英文，但单词极少
- 一句话：打开软件 →
Window → 2-dim → Equa → Explicit输入x^3+a*x→ 菜单Anim → Parameters A-W ...设定区间与步长 → 一键播放，变量 a 连续变化时图形跟着跑，体积超小可放 U 盘 。
下面的表达式为Win11自带的计算器的绘图模式下的表达式。
1. 水平直线
代表：常函数 f(x)=c
形状：平行于 x 轴的一条直线
关键词：斜率 0 表达式：⁅𝑐⁆
2. 斜直线
代表：一次函数 f(x)=kx+b
形状：非水平/竖直的直线
关键词：恒定斜率
表达式：⁅𝑘𝑥+𝑏⁆
3. 抛物线（开口上下）
代表：f(x)=ax²+bx+c
形状：U 或 ∩ 形，对称轴竖直
关键词：单顶点 + 轴对称
表达式：⁅𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐⁆
4. 抛物线（开口左右）
代表：x=ay²+by+c（反函数观点）
形状：⊃ 或 ⊂ 形，对称轴水平
关键词：非函数图像，但常一起出现
表达式：⁅𝑥=𝑎𝑦^2+𝑏𝑦+𝑐⁆
5. 三次 S-曲线
代表：f(x)=ax³+bx²+cx+d
形状：一端升一端降，或两端同升同降，带一个拐点
关键词：拐点对称中心（奇函数）
表达式：⁅ax^3+bx^3+cx+d⁆
6. 绝对值尖峰
代表：f(x)=|x| 及其平移伸缩
形状：V 形，尖点不可导
关键词：尖点 + 分段线性
表达式：⁅|𝑥|⁆
7. 平方根/半抛物线
代表：f(x)=√x
形状：躺在第一象限的“半支抛物线”
关键词：定义域 x≥0，单调增
表达式：⁅𝑎√𝑥⁆
8. 倒数双曲线
代表：f(x)=k/x
形状：两支分别位于 Q1、Q3 或 Q2、Q4 的双曲线，渐近 x、y 轴
关键词：渐近线 + 中心对称
表达式：⁅𝑘/𝑥⁆
9. 指数爆炸
代表：f(x)=aˣ (a>0,a≠1)
形状： J 形或 L 形，一端趋于 0 一端爆增
关键词：无零点 + 水平渐近 y=0
表达式：⁅𝑎^𝑥⁆
10. 对数缓慢
代表：f(x)=ln x
形状：从 −∞ 缓慢上升，凹向下
关键词：定义域 x>0，垂直渐近 x=0
表达式：⁅𝑎ln(𝑥)⁆
11. 正弦波浪
代表：f(x)=sin x
形状：周期 2π 的平滑波浪，轴对称
关键词：周期 + 振荡
表达式：⁅𝑎sin(𝑥)⁆
12. 余弦波浪
代表：f(x)=cos x
形状：同正弦但左移 π/2，也是 2π 周期
关键词：偶函数对称
表达式：⁅𝑎cos(𝑥)⁆
13. 正切折线
代表：f(x)=tan x
形状：每 π 重复一次，中间有垂直渐近线“断裂”
关键词：周期 π + 渐近断点
表达式：⁅𝑎tan(𝑥)⁆
14. 半圆/圆
代表：y=√(r²−x²) 或隐式 x²+y²=r²
形状：上半圆（或整圆），非函数图像但常出现
关键词：非单值，可导点有限
表达式：⁅√(𝑟^2−𝑥^2 )⁆
表达式：⁅𝑥^2+𝑦^2=𝑟^2⁆
15. 椭圆
代表：x²/a² + y²/b² = 1
形状：压扁或拉伸的“蛋形”，中心对称
关键词：双轴对称
表达式：⁅𝑥^2/𝑎^2 +𝑦^2/𝑏^2 =1⁆
16. 双曲线（标准）
代表：x²/a² − y²/b² = 1
形状：左右两支，渐近线交叉
关键词：中心对称 + 渐近线
表达式：⁅𝑥^2/𝑎^2 −𝑦^2/𝑏^2 =1⁆
17. 抛物线（标准二次函数）
代表：y²=4ax（开口右）
形状：躺倒的抛物线，焦点准线定义
关键词：轴对称 + 单支
表达式：⁅𝑦^2=4𝑎𝑥+𝑏⁆
18. 符号阶跃
代表：sgn(x) 或 Heaviside 阶跃
形状：在 x=0 处从 −1 跳到 1（或 0→1）
关键词：间断点 + 分段常数
19. 取整阶梯
代表：f(x)=[x]（地板函数）
形状：每整数点向上跳一级，左闭右开
关键词：阶梯断点无限多
20. 尖波/三角波
代表：f(x)=|x − round(x)|
形状：周期锯齿或三角尖峰
关键词：周期 + 尖点
表达式：⁅|𝑥−round(𝑥)|⁆
21. 指数衰减
代表：f(x)=e^(−x) (x≥0)
形状：从 1 快速下滑趋 0
关键词：单调减 + 水平渐近
表达式：⁅𝑎𝑒^(−𝑏)𝑥⁆
22. Logistic S-饱和
代表：f(x)=L/(1+e^(−k(x−x₀)))
形状：平滑 S，两端分别趋近 0 与 L
关键词：拐点 + 双水平渐近
表达式：⁅𝐿/(1+𝑒^(−𝑘)(𝑥−𝑎))⁆
23. 狄拉克冲激（广义）
代表：δ(x)
形状：x=0 处“无穷高+零宽”，面积 1
关键词：分布理论，图形用箭头表示
24. 正态钟形
代表：f(x)=e^(−x²/2)
形状：对称钟形，中间高两边趋 0
关键词：偶函数 + 快速衰减
表达式：⁅𝑎𝑒^(((−𝑏) 𝑥^2)/2)⁆
25. 幂函数族（单支双支）
代表：f(x)=x^α（α 非整数）
形状：α>1 类似抛物线但更陡；0<α<1 类似平方根更平；α<0 类似双曲线
关键词：由指数决定开口与渐近
表达式：⁅𝑥^𝑏⁆
26. 摆线/旋轮线
代表：参数式 x=t−sin t, y=1−cos t
形状：拱形波浪，一拱一周期
关键词：参数方程 + 尖底
27. 星形线/四尖瓣
代表：x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)
形状：四向尖瓣，类似四角星
关键词：隐式 + 尖点
28. 阿基米德螺线
代表：极坐标 r=aθ
形状：从原点旋转而出的等距螺线
关键词：极坐标 + 无界
29. 对数螺线
代表：r=e^(aθ)
形状：越转越宽，角度不变
关键词：自相似 + 黄金角
30. 玫瑰线
代表：r=a cos(nθ)
形状：n 为奇数 n 瓣，偶数 2n 瓣
关键词：极坐标 + 瓣数可控
上面 30 种已覆盖中学到大学基础阶段所有“形状不重复”的常用函数。
每类再给系数、平移、伸缩，就能画出教材里 99% 的标准图象。